Родился 13 октября 1907 года в селе Печёркино Пышминского уезда Пермской губернии, ныне – Пышминского района Свердловской области, в семье крестьянина. Русский.
Трудовую деятельность начал в 1924 году в собственном сельском хозяйстве. С началом коллективизации в 1927 году вступил в товарищество по совместной обработке земли (ТОЗ, с 1929 года – сельскохозяйственная коммуна имени С. М. Будённого, с 1932 года – одноимённый колхоз).
В 1940 году вступил в ВКП(б)/КПСС.
С началом Великой Отечественной войны Ефим Григорьевич в августе 1941 года был мобилизован в Красную Армию. В действующей армии с апреля 1942 года. В феврале 1943 года был тяжело ранен. После выздоровления дальнейший боевой путь продолжил командиром миномётной роты 4-го гвардейского стрелкового полка 6-й гвардейской стрелковой дивизии (13-я армия). За образцовое выполнение боевых заданий командования гвардии капитан Бельков был награждён медалью «За отвагу» и тремя боевыми орденами, в том числе Александра Невского за успешное командование ротой, нанёсшей врагу значительный урон в живой силе и технике при освобождении территории Польши.
После демобилизации вернулся в родное село Печёркино и продолжил работать в колхозе имени Будённого. В 1950 году колхоз объединился с колхозом «Пролетарий», и Е.Г. Бельков возглавил укрупнённый колхоз имени Будённого, основным направлением которого было мясо-молочное производство.
Колхоз под его руководством неоднократно становился участником Всесоюзной сельскохозяйственной выставки (ВСХВ), позже – Выставки достижений народного хозяйства (ВДНХ) СССР. В конце 1950-х годов колхоз имени Будённого был переименован в «Урал», а в 1959 году объединился с другим крупным колхозом имени Пушкина.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 8 марта 1958 года за выдающиеся успехи, достигнутые в увеличении производства молока и мяса и сдачи государству сельскохозяйственных продуктов, Белькову Ефиму Григорьевичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
В апреле 1968 года оставил пост председателя колхоза, став персональным пенсионером союзного значения.
Избирался делегатом XXI съезда КПСС (1959).
Скончался 14 июля 1994 года. Похоронен в родном селе Печёркино Пышминского района.
Награждён орденами Ленина (08.03.1958), Александра Невского (10.02.1945), 2 орденами Отечественной войны 1-й степени (10.08.1944; 11.03.1985), орденом Красной Звезды (02.04.1944), медалями, в том числе «За отвагу» (18.02.1944), «За трудовую доблесть» (25.12.1959), «За трудовое отличие» (22.06.1950), а также медалями ВСХВ и ВДНХ СССР.