Анатолий Гробов родился 6 мая 1916 года в посёлке Верхняя Тура (ныне - город в Свердловской области) в семье служащего.
В 1936 году окончил Талицкий лесотехнический техникум, после чего работал лесоводом Верхнетуринского леспромхоза.
В 1937 году парня призвали в армию. Служил на Дальнем Востоке. Окончил школу младшего командного состава и получил звание старшего сержанта.
В начале октября 1941 года Анатолий принял первое боевое крещение в боях под городом Волховом, а затем в битве под Москвой.
В марте 1942 года, как один из лучших сержантов, А.А. Гробов был направлен на курсы младших лейтенантов инженерных войск, а в конце июля 1942 года он с оценкой «отлично» закончил учебу.
По окончании курсов в звании младшего лейтенанта он прибыл в 42-ю гвардейскую стрелковую дивизию. Незадолго до Курской битвы старший лейтенант Гробов стал командиром саперной роты 46-го саперного батальона.
В ночь с 23 на 24 сентября 1943 года, обеспечивая форсирование Днепра в районе села Гребени Кагарлыкского района Киевской области Украинской ССР, с первой группой сапёров Гробов переправился через Днепр и, несмотря на массированный вражеский огонь, в кратчайшие сроки силами своей роты построил переправу через реку для советских войск.
За умелое командование ротой при форсировании реки Днепр и при закреплении на плацдарме на западном берегу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 октября 1943 года Анатолию Александровичу Гробову присвоено звание Героя Советского Союза.
Сын в письме делился своей радостью с матерью. «Сегодня мне сообщили о том, что в числе других воинов мне присвоено звание Героя Советского Союза. Все друзья рады за меня. Поздравляют. И мне кажется, что я не совершил ничего героического, наводил переправу и с первой группой вплавь перебрался на тот берег. Правда, кругом рвались снаряды, летели пули. Но ведь такова война».
Часть, в которой воевал герой, шла вперед с непрерывными боями. Враг отходил все дальше на запад.
22 декабря 1943 года Анатолий Гробов написал последнее письмо: «К Новому году будем в Москве. Будем получать награды - Золотые звезды...». Пришло последнее письмо Анатолия к матери в Верхнюю Туру в конце декабря. Она читала и радовалась: сын - герой, скоро будет в Москве, в Кремле....
Погиб в бою 24 декабря 1943 года. Похоронен в братской могиле в селе Рожев Макаровского района Киевской области.
Погиб герой. Но память о нем жива. Есть в городе Верхняя Тура улица Героя Советского Союза Гробова Анатолия Александровича, о чем свидетельствует мемориальная доска, установленная в октябре 1968 года на доме №2 по улице Гробова.
Каждый год в Верхней Туре проходит турнир по боксу памяти Героя Советского Союза, гвардии старшего лейтенанта, командира саперной роты А.А. Гробова. Мемориальная доска также установлена на доме № 162 по улице Ленина, где наш герой жил до войны. Его имя занесено в книгу памяти и высечено на плитах Мемориала Славы верхнетуринцам, погибшим на фронтах Великой Отечественной войны.